选自《测绘科学》年06期
网络出版时间：-11-:36:16
作者简介：
吴迪军：(—)，男，湖北武汉人，博士，教授级高工，中铁大桥勘测设计院集团有限公司，主要研究方向为GNSS及工程测量应用技术
熊伟：中铁大桥勘测设计院集团有限公司
摘要：针对跨海桥梁高程基准传递的技术难题，该文阐述了GPS高程拟合的基本原理，分析了高程拟合中的几个关键技术问题，总结出了GPS高程拟合的技术要点及提高拟合精度的措施。提出了基于二次多项式曲面的跨海桥梁工程GPS高程拟合方法，利用港珠澳大桥工程区域内的21个高精度GPS水准点建立二次多项式曲面拟合模型，并用另外7个点进行检核。结果显示：模型的内符合精度为±8.7mm，外符合精度为±12.4mm，2个海中测量平台控制点的拟合高程达到二等水准测量精度要求。
关键词：跨海桥梁；GPS高程拟合；二次曲面模型；港珠澳大桥
GPS技术以其高精度、快速、受外界影响小等突出优点已在跨海桥梁平面控制测量中得到广泛应用，然而，在高程测量方面，由于似大地水准面的不平滑特性使得地面上各点的高程异常很难精确地计算出来，导致GPS高程转换的精度及其稳定性偏低。大量试验和工程实践数据分析表明，桥梁工程GPS高程拟合仅能达到国家四等及以下等级水准测量标准，现阶段主要用于地形图根点测量、桥墩承台施工高程定位等较低精度等级的测量中，桥梁高程控制测量仍普遍采用技术成熟、精度稳定可靠的水准测量技术和精密三角高程测量技术。本文结合港珠澳大桥海中桥墩承台及其上部工程施工高程定位的实际需求，开展跨海桥梁工程局部区域内GPS高程拟合方法及其应用技术的研究，旨在探索跨海桥隧工程精密高程测量的有效方法，以实现长距离跨海桥梁工程施工中高程的精确定位。
1GPS高程拟合原理
GPS测量采用参考椭球面作为基准面，地面上一点到参考椭球面的垂直距离称为大地高；而在我国的地面测量应用中采用似大地水准面作为基准面，地面上一点到似大地水准面的垂直距离称为正常高；参考椭球面与似大地水准面之间的高程差称为高程异常。大地高H、正常高h和高程异常?之间的关系用式（1）表达：
通过GPS静态相对定位测量及三维平差，可获得高精度的大地高H，试验分析表明：高精度桥梁GPS控制点大地高（相对大地高差）的精度可达10mm左右甚至更高，假如能得到精确的高程异常值，则可利用式（1）计算出各点的正常高高程。
参考椭球面是一个规则的几何曲面，而似大地水准面却是一个具有物理特性的不规则自然曲面，受地形起伏、地磁特性等多种因素的影响，地面上各点的重力及高程异常是不相同的，同一区域内地面测点的高程异常无法用固定的数学公式精确计算出来，不同区域内的高程异常变化规律也存在或大或小的差异，因此，如何精确求解高程异常值就成为通过GPS高程转换获取高精度正常高高程的关键所在。
尽管高程异常的分布非常复杂，但大量工程应用及试验分析结果也已证明：在桥梁工程等局部小区域内，地面各点的高程异常变化符合一定的几何规律特性。据此，我们可以通过联测少量GPS点的水准高程，
使用某种几何曲面来逼近局部区域的似大地水准面，建立似大地水准面模型，进而即可内插确定测区范围内任意一点的高程异常值，这就是GPS高程拟合的基本思路。
若式（2）中含有m个待定参数，则需联测至少m个GPS水准点，以便求解模型参数。当联测的GPS水准点数量n大于参数个数m时，则可写出n个误差方程式，按照最小二乘法组成（n-m）个法方程，最终求解出m个模型参数的最优估值。
2高程拟合中的几个关键问题
2.1拟合模型的选择
常用的GPS高程拟合模型有线性模型、多项式曲线模型、平面模型、二次多项式曲面模型、多面函数曲面模型和移动曲面模型等。各种模型都有其自身特点及适用条件，一般而言，线性模型、多项式曲线模型分别适用于GPS控制点近似成直线或曲线分布的情形，平面模型在地形起伏小、似大地水准面近似成平面的情况下比较有效，二次曲面模型适合于地形平坦、似大地水准面呈单一曲面形状的小测区，多面函数曲面模型和移动曲面模型则可在地形起伏较大或范围较大的测区进行分区拟合时使用。实际工作中，应根据测区地形起伏大小、似大地水准面特征及测区大小等多种因素综合选择一种模型或多种模型的组合模型，通过拟合计算和比较分析后确定该区域的最优模型。上述这些模型中，二次曲面模型是应用最多的模型，工程实践证明：在桥梁工程等局部小区域内，当地形较为平坦时，二次曲面模型是最优拟合模型，其高程拟合精度可达国家四等水准测量标准，个别点或局部区域可达三等精度。文献[11]基于AIC准则，对平面模型、二次曲面模型、三次曲面模型进行模拟分析和计算比较，从理论上证明了二次曲面模型为最佳模型。
二次多项式曲面模型的数学方程如下：
2.2GPS水准点的选取
GPS水准点的位置、数量及分布对高程拟合精度具有重要影响，通常可根据测区面积、地形起伏大小、所采用的拟合模型及拟合精度等级等因素综合选定已知点。一般而言，GPS水准点应均匀分布在整个测区，测区边缘必须有足够数量的公共点，地形起伏较大、高程异常有明显变化的局部区域应适当增设GPS水准点。文献[13]提出了全组合选点法和剔除法两种选点方法，并通过算例说明了两种方法的选点结果具有一致性，最终推荐剔除法作为GPS水准点的优化选择方法。剔除法的基本做法是：从n个GPS点中逐个剔除对拟合精度贡献最小的水准联测点，一直剔除到剩下m点为止。其次，GPS水准点的数量并非越多越好。文献[12]指出，拟合点数量的过分增加只能导致工作量的增大，水准拟合精度并没有太大的提高。
2.3GPS水准点的可靠性检验
为了提高高程拟合模型的精度，必须确保用作建模起算点的GPS水准点具备一定的可靠性，即起算点的高程异常（包括大地高、正常高）应具有高可靠性。GPS水准点的可靠性可通过两方面来予以保证。一方面，加强GPS测量与水准测量的质量控制与检验；另一方面，运用可靠性检验方法对起算点的高程异常数据进行检验，剔除含有粗差的数据。如利用狄克松判别法探测单个粗差，使用“狄克松统计量检测多个粗差”方法检测两个或两个以上粗差。文献[15]提出了一种基于最小二乘法的选权迭代稳健估计法，可有效抵御GPS水准点的高程异常粗差。
2.4数据预处理
由于GPS水准点的坐标值（x,y）与其高程异常值在数值上相差很大，若按照式（2）建立法方程则会使法方程系数矩阵病态化，导致求解过程不稳定，进而降低高程异常模型精度。因此，必须预先对式（2）进行重心化、归一化处理或采用岭估计法，以有效地消除法方程的病态性，使得求解更趋稳定，最终提高GPS高程拟合的精度。文献[16]提出利用归一化的方法优化坐标系数矩阵，求取坐标参数。计算结果和精度优于利用坐标中心化、平均法进行处理的算法。
2.5模型求解方法
求解式（2）参数的经典算法是最小二乘法，考虑到模型参数的相关性、观测数据误差以及法方程的病态性等因素的不利影响，不少学者通过试验研究和应用实践提出了其他的数学优化算法，以改善模型参数求解结果的精度及稳定性，进而提高高程拟合的精度及其可靠性。这些改进算法主要有总体最小二乘法、加权总体最小二乘法、主成分估计和半参数估计法和岭估计法等。
2.6精度评定
GPS高程拟合的精度可用内符合精度、外符合精度及精度等级评定3项指标来评定。
3实例分析
港珠澳大桥桥位处跨海距离超过32km，海中桥隧工程总长约35.58km，其中，海中桥梁总长约28.34km，海底隧道总长约5.99km，人工岛长约1.25km。大桥开工前，建立了港珠澳大桥首级控制网，通过珠海到香港之间总长约km的陆域一等水准测量，统一了珠海、澳门与香港两岸三地的高程基准。为了进一步将高程基准向海中传递并实施全桥跨海高程的直接贯通测量，在主体工程施工全面铺开之前利用海中试桩工程建造了5个海中测量平台，使得跨海距离缩短至2.3～6.3km。在随后进行的首级控制网第4次复测期间，采用全站仪三角高程法按二等精度联测了离海岸较近的3个海中测量平台控制点的高程，而离岸较远的2个测量平台暂时没有联测高程，故采用GPS高程拟合方法传递高程，以满足海中桥隧工程精确施工的实际需要。
如图1所示，港珠澳大桥工程区域内分布着30个GPS点，分别位于香港、珠海、澳门陆域及海中工程区域内，全部控制点按优于国家B级GPS网的技术要求进行观测和计算，得到各点精确的大地高。除海中测量平台控制点28、29以外，其余28个控制点的高程采用二等水准测量精度进行联测。控制点高程最大值m（22号点），最小高程不到3m（6号点），11、20、23、24的高程介于～m之间，其余24点的高程介于3～80m之间。由此可见，忽略个别高程较大的22号点，其余各点间的高程差异较小，测区总体地形起伏不大。利用桥址区域局部精化似大地水准面模型计算并绘制高程异常等值线图进行分析后得出：测区内高程异常变化比较平缓。因此，选定二次多项式曲面模型进行高程拟合计算。
选取21个GPS水准点建立高程拟合模型，用7个检核点对模型精度进行检核。表2列出了各点的GPS拟合高程与已知高程的误差值。
由表2可知，公共点中高程误差最大的点是位于香港陆域的21号点（22.0mm），误差绝对值的均值为：6.5mm。检核点22的高程误差最大，达到83.1mm，可以推知该点附近高程起伏大，可能存在高程异常突变；10、20的已知高程为三角高程法测定，故高程误差偏大（20～30mm）；18位于公共点范围之外，属于外延拟合，因此拟合误差也较大（20.1mm）；余下的5、11和13号点的高程误差均小于20mm。根据21个公共点统计的内符合精度为±8.7mm，根据6个检核点统计的外符合精度为±20.8mm（忽略高程偏大的22号点）。造成外符合精度偏低的原因之一是两个检核点的已知高程系采用三角高程法测得，其精度较低，其次，18号点位于公共点区域以外，高程拟合误差增大。若不考虑这3个检核点，仅使用余下的5、11和13计算出的外符合精度为：±12.4mm。
利用该模型计算出海中测量平台控制点28、29的高程，用于海中工程施工。该两点的拟合高程与后来使用全站仪三角高程法测定的高程相比较，偏差分别为：1.9mm和0.9mm，均小于按表1中公式计算出的二等限差，故可认为：本文所建立的模型在海中桥梁工程区域内达到二等水准测量精度。
4结束语
GPS高程拟合是解决跨海桥梁高程传递问题的一种极具发展和应用前景的方法，其关键在于如何提高GPS高程的精度及其稳定性、可靠性。首先要通过精密观测获取各控制点的高精度的大地高以及公共点的水准高程；其次应根据测区面积、地形起伏及似大地水准面变化趋势等因素选定恰当的拟合模型，可以是单一模型也可以是组合模型；再次应选取分布均匀合理、包围整个测区、数量足够的GPS水准点作为公共点，以建立高符合性的GPS高程拟合模型。此外，GPS水准点的可靠性检验、采用归一化或中心化方法预先进行数据预处理、模型求解方法以及精度评定方法等，都将对GPS高程拟合精度产生重要影响。实例分析结果表明，基于二次曲面的港珠澳大桥GPS高程拟合模型，在海中测量平台控制点上的高程拟合精度达到二等水准测量要求，进一步说明：在地形起伏不大的桥梁工程局部区域内，二次多项式曲面模型是比较理想的高程拟合模型。
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